趣味地震学 - 并不遥远的非欧几何（2）

中国地震学会—地球科学科普栏目

地震科普—并不遥远的非欧几何

看天上的星星尽显光辉

赏地下的河水肆意奔流

7、并不遥远的非欧几何

7.2地球体和地表面的形状

7.3抗震结构

不管数学的任一分支是多么抽象，总有一天会应用在这个实际世界上。

——罗巴切夫斯基（俄）

7.2地球体和地表面的形状

◆大地水准面

我们的旋转地球体并不是一个欧氏几何的圆球！

如果海洋和大气处于平衡状态、与旋转地球的表面间没有相对的运动，海面还会通过虚拟的运河延伸到大陆下面……那么，重力测量值在任何地方都会垂直于它的表面，与平均海平面最为接近的重力等位面便定义为地球体的形状，称为大地水准面（Geoid）。

问题出现了：地球的质量在各点是非均匀分布的，它必然导致重力测量的大地水准面的形状不规则。

好办，只要把实测的大地水准面拆成两部分（图7-9）：

一是标准的参考椭球（即通常说的“地球形状”）；

二是水准面相对变化量（科学研究之用）。

图7-9大地水准面的拆分

参考椭球体完全是虚拟的，让它与大地水准面有最佳的拟合，便代表了整个地球体的大小和形状。通过国际合作，这个理论模型已建立，公众利用GPS、北斗系统的高精度定位就是以它为标准的。水平位置较准确，高度的精度会偏，因为存在水准面和各地密度的变化。

水准面异常是实测的大地水准面与参考椭球体的高差（图7-10），奇特的形状并没有统一名称。学术界也挺自由，可以叫它“大鸭梨、大土豆、大白薯……”，就看学者平常喜欢吃什么了。图7-10中已注明了异常突出的部位，如帕劳和冰岛的隆起区，印度洋和北美的凹陷区。

图7-10大地水准面的起伏变化

低频、大尺度异常的根源在地幔，但是仅归结于密度异常又是不够的，还必须引入黏滞系数才能使数学模型符合大地水准面的异常，让地球成为一个具有黏滞性的“软柿子”！这个结论与理论物理一致：行星内部必须有流变层，否则会在旋转中破碎。地幔对流模型能初步诠释板块运动和全球应力状态。

◆地图映射

在航海、航空等实际问题中，狭义的黎曼几何，即曲率为正数的球面几何要更准确。

在计算地震的震中距和方位角时，概念务必清晰：平直的空间里，两点间的直线是最短线；但在弯曲的空间里没有直线，只有最短线。球体表面，唯有大圆线（穿经球心的平面与球面相交的截线）才是最短线（图7-11）。尽管在人们常用的地图里，这个最短线总被扭曲得“惨不忍睹”，误解频频。

图7-11球面最短线在地图上的变形

图7-12地图映射三种基本投影

图7-13各种投影地图的畸变（Gedymin，1946）

地图的使用要根据需要而定。航海航空一定要用墨卡托投影图（图7-13），才能由罗盘控制航向；单台监测（如雷达站）需要用极方位等距投影图（图7-13），便于根据方位和距离来确定位置；联合国的图标选取极地方位角等面积投影（图7-14），只有这样才能最大程度地满足各方的政治诉求；南北两极若不被边缘化，就要用多圆锥投影图，沿每条纬线才可以有真实的比例（图7-14）。

图7-14极地方位角等面积投影（上）和多圆锥投影图（下）

7.3抗震结构

◆建筑物破坏的机理

抗震设防的关键，在于提高建筑物的抗剪切能力。

地震动的主要破坏力（横波S）是在水平方向，而房屋的重力在垂直方向上，二者合成的效应：一是墙体的X型破裂，二是结构铰接点的断裂（图7-15）。于是，最直接的抗震措施就是增加斜支撑柱，为框架的“矩性”追加一条对角线，阻止它变成“平行四边形”（图7-16）。

不用说，欧氏几何的解显然不美观，一个大活人谁愿意关在笼子里呢。

图7-15地震破坏建筑物的机理

图7-16建筑物的抗震斜支撑

◆非欧几何结构

先看一下动物的产品：手握鸡蛋是捏不碎的。薄薄的蛋壳之所以能承受这么大的压力，关键在于蛋壳所受外力被均匀地分散到壳体各部分，而内部体积又可以达到最大。因此，鸟蛋、鸭蛋、龟蛋、企鹅蛋……无不呈椭球曲面状——保持了非欧几何的曲面[1，2]，也就保护了后代的安全。

今天，曲高和寡的非欧几何已然走下科学的殿堂。

图7-17是日常生活中常见的双曲面结构：牛仔帽和女式帽的帽檐不容易塌扁；炸土豆片不容易碎裂；椅子靠背的支撑力增强；植物叶子能挺拔；鸟巢场馆有超水平承载力和抗震能力；600m高的广州“小蛮腰”电视塔结构简单，由直线状柱子实现了双直纹曲面……

图7-17日常生活中的双曲面

在世界各国的建筑和工程中，曲面造型已经愈发普遍。它们非常适于大跨度、少立柱的空间建筑，例如工厂、仓库、剧院、体育馆、机库、车站和候机楼，甚至连地下隧道、车辆的挡风玻璃、水库大坝、高架桥梁……都会采取曲面结构，因为它们容易制作、省材料、稳定性好。

非欧几何的椭球体曲面能实现内部空间的最大化，屋顶面积的最小化（图7-18）。它充分利用了材料强度，把承重（柱）与围护（墙）的两种功能融合为一，减轻了外压力，消除了结构力学的应力奇点，故而抗震性能非常好。当然，窗户形状必然是极其复杂多样的（图7-18），需要通过微分几何逐一确定。

图7-18国家大剧院的卵形结构

切不要把曲面结构贬责为设计者的荒诞怪癖。它是工程抗震等多方面的需求，青春活泼，能很好地满足功能和造型的要求，省料又省工。

几何学发展到今天，离不开欧几里得的奠基性贡献（图7-19）。

图7-19欧几里得（AntonioC）

他那严谨的定理和严密的思维逻辑，被奉为难以企及的巅峰。有人问过他，有没有学习几何的捷径？欧几里得是这样说的：

Thereisnoroyalroadtogeometry.

被译成“几何学无坦途”，成千古箴言。

两千年来，几何学一直在前进，就在我们身边，既不高深也不遥远。

○参考文献

［1］冯进.非欧几何发展中的若干认识论问题［J］.科学技术与辩证法，2003，20（3）：57-62.

［2］王雯.论科学对艺术的作用［D］.太原：太原科技大学，2014.

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